满足a^2-b^2=ab的整数

题目

满足a^2-b^2=ab的整数
有没有整数满足这个方程,如果有,应该怎样找它的整数解?

答案

方程可变形为4a²-4ab+b² = 5b²,即(2a-b)² = 5b².
若b ≠ 0,则右端5b²含有质因数5的个数为奇数.
而左端(2a-b)²为非零的完全平方数,质因数5的个数为偶数,矛盾.
因此只有b = 0,进而a = 0.
方程的整数解只有a = b = 0.