已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点． （1）求证：平面EBD⊥平面SAC； （2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

题目

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．

（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

答案

（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴SA⊥BD、
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC、
∵BD⊂平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC、
（2）设AC∩BD=F，连SF，则SF⊥BD、
∵AB=2．∴BD=2

2

．
∵SF=

SA2+AF2

=

42+( 2 )2

=3

2

∴S_△SBD=

1

2

BD•SF=

1

2

•2

2

•3

2

=6．
设点A到平面SBD的距离为h，
∵SA⊥平面ABCD，
∴

1

3

•S_△SBD•h=

1

3

•S_△ABD•SA，
∴6•h=

1

2

•2•2•4，
∴h=

4

3

，
∴点A到平面SBD的距离为

4

3

．

（1）证明平面EBD内的直线BD，垂直平面SAC内的两条相交直线AC，SA，即可证明平面EBD⊥平面SAC；
（2）SA=4，AB=2，设AC∩BD=F，连SF，点A到平面SBD的距离为h，利用

1

3

•S_△SBD•h=

1

3

•S_△ABD•SA，求点A到平面SBD的距离；

本题考点：平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．

考点点评：本题考查平面与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算，考查逻辑思维能力，转化思想，是中档题．