矩形ABCD中,AM,BN,CP,DQ分别是∠A,∠B,∠C,∠D的平分线.求证：阴影部分是正方形

题目

矩形ABCD中,AM,BN,CP,DQ分别是∠A,∠B,∠C,∠D的平分线.求证：阴影部分是正方形

答案

证明:设AM与BN交于E,AM与DQ交于F,DQ与CP交于G,CP与BN交于H.
四边形ABCD为矩形,则:∠DAB=∠ABC=90°.
∵AM平分∠DAB;BN平分∠ABC.
∴∠EAB=∠EBA=45° ,∠AEB=90° =∠FEH;
同理可证:∠FGH=∠EHG=90° .故四边形EFGH为矩形.
∵∠HBC=∠HCB=45°.
∴BH=CH;又⊿ABE≌⊿DCG,BE=CG.
则BH-BE=CH-CG,即EH=GH.
所以,矩形EFGH为正方形.