已知在（3次√x-1/2×3次√x）∧n的展开式中,第五项的二项式系数与第三项的二项式系数比是14：3

题目

已知在（3次√x-1/2×3次√x）∧n的展开式中,第五项的二项式系数与第三项的二项式系数比是14：3
（1）求n
（2）求含x∧2的项的系数
（3）求展开式中所有的有理项

答案

由题意可得：C(n,4)：C(n,2)=14：3
即：3C(n,4)=14C(n,2)
3n(n-1)(n-2)(n-3)/24=14n(n-1)/2
(n-2)(n-3)=56
n²-5n-50=0
(n-10)(n+5)=0
易解得：n=10
则展开式通项T(r+1)=C(10,r)*(∛x)^(10-r) *[1/(2∛x)]^r=(1/2)^r *C(10,r)*x的(10-2r)/3 次幂
令(10-2r)/3=2,解得：r=2
所以含x²的项为T3=(1/2)² *C(10,2)*x²=(45/2)*x²
而当10-2r=0时,得：r=5,则：T6=(1/2)^5 *C(10,5)*x^0=126
当10-2r=-6时,得：r=8,则：T9=(1/2)^8 *C(10,8)*x^(-3)=(45/256)*x^(-3)
所以展开式中的有理项有3项,它们是：T3=(45/2)*x²,T6=126,T9=(45/256)*x^(-3)