探究函数y=4倍的根号下x-1+3倍的根号下5-x的最大值和最小值

题目

探究函数y=4倍的根号下x-1+3倍的根号下5-x的最大值和最小值
为什么要令一个式子啊.解释一下怎么来的、怎么想的

答案

【换元法】函数f(x)=4√(x-1)+3√(5-x).易知,函数定义域为1≤x≤5.换元,可设x=3+2cost.(0≤t≤π).则x-1=2(1+cost)=4cos²(t/2).且5-x=2(1-cost)=4sin²(t/2).∴问题可化为求函数g(t)=8cos(t/2)+6sin(t/2),(0≤t≤π)的最值.函数g(t)=10sin[(t/2)+w].其中,sinw=4/5,cosw=3/5.(0＜w＜π/2).∴w≤(t/2)+w≤w+(π/2).∴g(t)max=10,g(t)min=6.∴f(x)max=10,f(x)min=6.