已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．

题目

已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．

答案

已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立
：即|x−1|−|2x+3|≤

|2m−1|+|1−m|

|m|

恒成立
因为：

|2m−1|+|1−m|

|m|

≥

|2m−1+1−m|

|m|

＝1
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①当x≤−

3

2

时，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3
②当−

3

2

＜x＜1时，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1
③当x≥1时，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
综上x的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．
故答案为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．