(x^2-x+2)^10的二项式展开式中,x^3项的系数为多少?

题目

(x^2-x+2)^10的二项式展开式中,x^3项的系数为多少?
前三楼的答案都不对,答案是9600

答案

请楼主不必太相信书上的答案,特别是 练习册上的答案.
因为不清楚楼主的学历,所以我先介绍基本的二项式展开公式,然后再解你这个题目.
对于 (a+b)^n ,其展开式为 C(n,k) * a^(n-k) * b^k 的求和.其中 k 从 0 到n；而 C(n,k) = n!/[(n-k)!*k!] 即常见的组合公式.
基础知识介绍完毕.下面解题.

x^2 - x + 2 = (x^2+2) - x
[(x^2+2)-x]^10 =
C(10,0)*(x^2+2)^10*(-x)^0 + C(10,1)*(x^2+2)^9*(-x)^1 + C(10,2)*(x^2+2)^8*(-x)^2 + C(10,3)*(x^2+2)^7*(-x)^3…… + C(10,9)*(x^2+2)^1*(-x)^9 + C(10,10)*(x^2+2)^10*(-x)^10
请观察上面这个展开式.对于含有 (-x)^4 、(-x)^5 …… (-x)^10 的项,其进一步展开后 必然不会含 x^3 项.
(x^2+2)的任何次方展开后始终是 x 的偶次项.与 (-x)的偶次项相乘后 也不会产生 x^3 项.
综上所述,只有 C(10,1)(x^2+2)^9*(-x)^1 以及 C(10,3)*(x^2+2)^7*(-x)^3 能够产生 x^3 项.
对于 (x^2+2)^9 ,其展开式中 x^2 项的是 C(9,8)*(x^2)*(2^8),
与 C(10,1)*(-x)^1 相乘后,产生整个式子的 x^3 项.其系数为
-C(10,1)*C(9,8)*2^8 = -23040
对于 (x^2+2)^7 ,其展开式中 x^0 项是 C(7,7)*[(x^2)^0]*(2^7),
它与 C(10,3)*(-x)^3 相乘后 产生这个式子的 x^3 项.其系数为
-C(10,3)*C(7,7)*2^7 = -15360
两个系数相加 -23040 - 15360 = - 38400
这就是最后 x^3项 的系数.