按行列式的定义计算下面的行列式

题目

按行列式的定义计算下面的行列式
x y 0 ...0 0
0 x y ...0 0
.....
.....
.....
0 0 0 ...x y
y 0 0 ...0 x
答案是x^n+[(-1)^(n+1)]y^n

答案

这个题目是这样的
将最后一行按行展开得到两个n-1阶的行列式
如下
(-1)^(n+1)*y--------第一项系数y在n行1列,所以为n+1
y,0,0...0
x,y,0...0
0,x,y...0
.
.x,y ----------第一项下三角行列式,结果y^(n-1)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
(-1)^(n+n)x--------第二项系数y在n行n列,所以为n+n
x,y.0
0,x,y.0
.
.x----------第二项上三角行列式,结果x^(n-1)
所以,最终结果为
(-1)^(n+1)*y*y^(n-1)+(-1)^(n+n)x*x^(n-1)
=[(-1)^(n+1)]y^n+x^n
可能写的不太好,不清楚再问我好了