设函数f(x)=(1+x)^2-ln(1+x)^2,求f(x)的单调区间

题目

设函数f(x)=(1+x)^2-ln(1+x)^2,求f(x)的单调区间
紧急的问题,要解题的过程

答案

[-2,-1)∪[0,+∞)
设g(x)=x-lnx
求导g'(x)=1-1/x
令g'(x)=0得x=1
所以x=1时,g(x)有最小值
因为g(x)中,x∈(0,+∞]所以x∈(0,1]单调减,x∈[1,+∞)单调增
设f(x)=g[h(x)],其中h(x)=(1+x)^2
h(x)中,x∈(-∞,-1]单调减,x∈[-1,+∞)单调增
当h(x)∈(0,1]时,x∈[-2,-1)∪(-1,0],这时,g(x)为减,只有当h(x)为减,f(x)才为增；所以x∈[-2,-1)
当h(x)∈[1,+∞)时,x∈(-∞,-2]∪[0,+∞),这时,g(x)为增,
只有当h(x)为增,f(x)才为增；所以x∈[0,+∞)
综上,x∈[-2,-1)∪[0,+∞)时,f(x)为增函数