数列{an}满足a1=4,an=4-4/an−1(n≥2),设bn=1/an−2. (1)判断数列{bn}是否为等差数列并证明; (2)求数列{an}的通项公式.
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数列{an}满足a1=4,an=4-4/an−1(n≥2),设bn=1/an−2. (1)判断数列{bn}是否为等差数列并证明; (2)求数列{an}的通项公式.
题目
数列{a
n
}满足a
1
=4,a
n
=4-
4
a
答案
(1)数列{b
n
}是等差数列,证明如下:
∵数列{a
n
}满足a
1
=4,a
n
=4-
4
a
n−1
(n≥2),
∴a
n
-2=2-
4
a
n−1
=2×
a
n−1
−2
a
n−1
,
∴
1
a
n
−2
=
1
2
+
1
a
n−1
−2
,
∵b
n
=
1
a
n
−2
,
∴b
n
-b
n-1
=
1
2
,
∴数列{b
n
}是公差为
1
2
的等差数列.
(2)∵
b
1
=
1
a
1
−2
=
1
2
,
∴b
n
=
1
2
+(n−1)×
1
2
=
n
2
,
∴
1
a
n
−2
=
n
2
,
∴a
n
=
2
n
+2
.
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