数列1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……的通项公式怎么求?
题目
数列1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……的通项公式怎么求?
答案
著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21……
你的数列是它的一部分
请看斐波那契数列的求法:
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式:
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列.
通项公式的推导方法一:利用特征方程
线性递推数列的特征方程为:
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二:普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1,-rs=1
n≥3时,有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘,得:
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
上式可化简得:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和)
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1,-rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 一个空间几何体主视图,侧视图面积都为根号32,且一个内角为60度的菱形,俯视图为正方形,求几何体表面积
- 电工,物理方面的题目
- 1、北京时间2010年4月14日7时49分许,青海省玉树藏族自治州玉树县(33.1 N ,96.7 E )发生7.1级地震.地震造成巨大破坏.青海玉树海拔很高,平均海拔高度是4500米,气候寒冷,给营
- 用定积分求平面图形面积~
- 1.某个班有5个同学参加朗诵比赛,5人的得分各不相同,得分最高的是95分.他们所得的分数和是460分,问得分最低的同学是多少分?
- 如图,已知∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上的一点,CE⊥BD,交BD于点E,AF⊥BD,交BD延长线于点F.若EC=5cm,
- 已知向量a=(sinα,-2)与b=(1,cosα)互相垂直,其中α属于(0,2/π),(1)求sinα和cosα的值(2)若5cos(α-β)=3根号5cosβ,0<β<π/2,求cosβ的值.
- we have a basketball game and volleyball game in October,这句话对吗?
- 1.下列生理过程属于负反馈调节的是() A.排尿反射 B.减压反射 C.分娩
- 牛顿环干涉条纹为什么距离中心越远,条纹越细越密