在直角坐标系中过点P(4,2)做直线l,使l与两坐标轴正向围成的三角形面积S最小,

题目

在直角坐标系中过点P(4,2)做直线l,使l与两坐标轴正向围成的三角形面积S最小,
（1)求l的方程.
（2）求｜PA｜*｜PB｜最小时,l的方程.

答案

(1)设l为y-2=k(x-4),
所以l与两坐标轴的交点为(0,2-4k),(4-2/k,0),
所以2-4k>0,4-2/k>0,
所以k=6+2*根号(-4k*-2/k)=6+4根号2,
当且仅当-4k=-2/k,即k=-根号2/2时等号成立,
所以l的方程为y-2=-根号2/2*(x-4),即x+根号2*y-(4+2根号2)=0；
(2)因为(｜PA｜*｜PB｜)^2
=(16+16k^2)*(4/k^2+4)
=64(k^2+1/k^2+2)
>=64(2+2)
=256,
当且仅当k^2=1/k^2,即k=-1时等号成立,
所以l的方程为y-2=-(x-4),即x+y-6=0.