定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x属于{0.π/2}时f(x)=sinx 求f（

题目

定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x属于{0.π/2}时f(x)=sinx 求f（
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x属于{0.π/2}时f(x)=sinx .求f（5π/3）的值

答案

由周期性和奇偶性知：f(5π/3)=f(5π/3-2π)=f(-π/3)=f(π/3)=sin(π/3)=√3/2
根据数形结合的方法也可以很简单地求出.
事实上,当x∈[-π/2,0]时,由于f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx=|sinx|,
而当x∈[0,π/2]时,f(x)=sinx=|sinx|,所以f(x)=|sinx|,x∈(-π/2,π/2],
对于任意的x∈R,一定存在唯一的x0∈(-π/2,π/2]和k∈Z满足x=x0+kπ,
又f(x)是最小正周期为π的周期函数,于是
f(x)=f(x0+kπ)=f(x0)=|sinx0|=|sin(x0+kπ)|=|sinx|,x∈R.
f(5π/3)=|sin(5π/3)|=|-√3/2|=√3/2