已知sin(α+β)=2/3,sin(α-β)=3/5,sinα+sinβ=1/2,求cos[(α+β)/2]*sin[(α-β)/2]的值

题目

已知sin(α+β)=2/3,sin(α-β)=3/5,sinα+sinβ=1/2,求cos[(α+β)/2]*sin[(α-β)/2]的值
给个方法思路就行了
sinα+sinβ=1/2怎么办?

答案

cos[(α+β)/2]*sin[(α-β)/2]=(1/2)·(sinα-sinβ) (用积化和差公式,或把乘式的每一部分按两角和差的正,余弦展开求出);
sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα=2/3,
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα=3/5,
由此二元一次方程组可得
sinαcosβ=19/30 , sinβcosα=1/30.
则cosβ·(sinα+sinβ)=sinαcosβ+sinβcosβ=19/30+sinβcosβ=(1/2)·cosβ;
cosβ=19/15+sin2β; (1)
cosα·(sinα+sinβ)=sinαcosα+sinβcosα=1/30+sinαcosα=(1/2)·cosα
cosα=1/15+sin2α. (2)
(1)+(2)得
cosα+cosβ=4/3+(sin2α+sin2β)
=4/3+2sin(α+β)cos(α-β) (和差化积)
=4/3+2×(2/3)×(4/5)
=36/15＞2,
因此cos(α-β)≠4/5;
只能有cos(α-β)=-4/5.
所以cosα+cosβ=4/3+2×(2/3)×(-4/5)=4/15.
则(cosα+cosβ)(sinα-sinβ)=sinαcosα-sinβcosβ+sinαcosβ-sinβcosα=(1/2)sin2α-(1/2)sin2β+19/30-1/30
=(1/2)(sin2α-sin2β)+3/5
=cos(α+β)sin(α-β)+3/5
=((正负自己判断一下)√5/3)(3/5)+3/5
=(±√5+3)/5.
∴sinα-sinβ=[(±√5+3)/5] / (cosα+cosβ)=[(±√5+3)/5] / (4/15)=(±3√5+9)/4 ()