已知实数a不等于0,函数f(x)=ax(x-2)^2(x属于R).若函数f(x)有极大值32/27,求实数a的值.

题目

已知实数a不等于0,函数f(x)=ax(x-2)^2(x属于R).若函数f(x)有极大值32/27,求实数a的值.

答案

f(x)=ax(x-2)^2
f'(x)=a(x-2)^2+2ax(x-2)=a(x-2)(3x-2)=0
x=2或x=2/3
f''(x)=a(6x-8)
a>0,f''(2)>0
取极小值,不合!
f''(2/3)=-4a<0
有极大值32/27=a×2/3×（2/3-2）²
a=1>0
正确!
a<0,f''(2)<0
f(2)=0矛盾.