已知:如图,点P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=3,PC=1,求∠BPC的度数.

已知:如图,点P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=3,PC=1,求∠BPC的度数.

题目
已知:如图,点P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=
3
,PC=1
,求∠BPC的度数.
答案
以BP为边作等边三角形BPD,连接AD,
则BD=BP=DP=
3
,∠DBP=∠BDP=60°,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∵∠ABD+∠ABP=∠CBP+∠ABP=60°,
∴∠ABD=∠CBP,
在△ABD与△CBP中,
AB=BC
∠ABD=∠CBP
BD=BP

∴△ABD≌△CBP(SAS),----------------------------(3分)
∴∠BPC=∠BDA,AD=PC=1,
在△ADP中,∵PA=2,PD=
3
,AD=1,
∴AP2=DP2+AD2
∴△APD是直角三角形,---------------------------(4分)
∴∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=150°,
∴∠BPC=150°.-----------------------------------(5分)
以BP边作等边三角形BPD,连接AD,根据等边三角形的每一个角都等于60°推出∠ABD=∠CBP,然后利用边角边证明△ABD与△CBP全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=CP=1,对应角相等可得∠BPC=∠BDA,再利用勾股定理逆定理证明△ADP是∠ADP=90°的直角三角形,从而求出∠ADB的度数,即∠BPC的度数.

等边三角形的性质;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理.

本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,勾股定理逆定理,作出辅助线,把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边,构造出直角三角形是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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