设不等式2x-1>m(x2-1)对满足「m」≤2的一切实数m的取值都成立,求x的取值范围.

题目

设不等式2x-1>m(x2-1)对满足「m」≤2的一切实数m的取值都成立,求x的取值范围.
2x-1>(x^2-1),m的绝对值小于等于2

答案

这里可以“反客为主”,即构造变量m的函数求
2x-1>m(x2-1)即：(x^2 - 1)*m - (2x - 1) < 0
构造关于m的函数f(m) = (x^2 - 1)*m - (2x - 1)
1）当x^2 - 1 > 0时, 则f(2) < 0
从而 2x^2 - 2x - 1 < 0
解得： (1 - √3) / 2 < x < (1 + √3) / 2
又x^2 - 1 > 0,即x < -1 或 x > 1, 所以 1 < x < (1 + √3) / 2；
2）当x^2 - 1 < 0时, 则f(-2) < 0 => -2x^2 - 2x + 3 < 0
从而 2x^2 + 2x - 3 > 0
解得 x < (-1 - √7) /2 或x > (√7 - 1) / 2
又-1 < x < 1, 从而(√7 - 1) / 2 < x < 1
3）当x^2 - 1 = 0时, 则f(m) = 1 - 2x < 0 从而x > 1/2,故x = 1；
综上有：(√7 - 1)/2 < x < (1 + √3) / 2