已知椭圆C的焦点在X轴上,它的一个顶点恰好是抛物线Y=1/4X平方的焦点,他的离心率为2倍根号5/5

题目

已知椭圆C的焦点在X轴上,它的一个顶点恰好是抛物线Y=1/4X平方的焦点,他的离心率为2倍根号5/5
设A B为椭圆上的恋歌动点,OA向量乘OB=0,过原点O作直线AB的垂涎OD,去D的轨迹方程

答案

抛物线x^2=4y,焦点（0,1）,对椭圆C,b=1,e=c/a=2倍根号5/5 ,e^2=1-(b^2)/(a^2)=4/5,a^2=5,椭圆C方程为(x^2)/5+y^2=1,设A((p1)cosa,(p1)sina),B((p2)cos(a+π/2),(p2)sin(a+π/2)),分别代入椭圆C方程(x^2)/5+y^2=1,得1/(p1)^2=[(cosa)^2]/5+(sina)^2,1/(p2)^2=[(cosa)^2]/5+(sina)^2,两式两边相加得
1/(p1)^2+1/(p2)^2=1/5+1=6/5,即[(p1)^2]*[(p1)^2]/{[(p1)^2]+[(p1)^2]}=5/6,因为|OA|=p1,|OB|=p2,
|AB|^2=[(p1)^2]+[(p1)^2],|OA|*|OB|=|OD|*|AB|,所以|OD|^2=5/6,D的轨迹方程为x²+y²=5/6.