abc正实数a+b+c=1证1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)大于等于2/(1+a)+2/(1+b)+2/(1+c)

题目

abc正实数a+b+c=1证1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)大于等于2/(1+a)+2/(1+b)+2/(1+c)

答案

首先,由已知得:2(1+a)+2(1+b)+2(1+c)=8.
对于(1+a),(1+b),(1+c),它们都是正实数
因为它们的调和平均>=算数平均,所以2/(1+a)+2/(1+b)+2/(1+c)<=18/(3+a+b+c)=9/2
也就是:要证的右边<=9/2
然后,由已知得(1-a),(1-b),(1-c)均为正实数,且它们的和为2
由它们的调和平均>=算数平均得:1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)>=9/2
也就是:要证的左边>=9/2
最后:左边>=9/2>=右边