设数列bn的前n项和为Sn.且bn=2-2Sn.数列an为等差数列,a5=14.a7=20.求数列bn通项公式.2,若cn=an*bn(n=1234…),Tn为数列cn的前n项和,求证Tn

题目

设数列bn的前n项和为Sn.且bn=2-2Sn.数列an为等差数列,a5=14.a7=20.求数列bn通项公式.2,若cn=an*bn(n=1234…),Tn为数列cn的前n项和,求证Tn

答案

1 b1=2-2S1=2-2b1 b1=2/3 bn=2-2Sn b（n-1）=2-2S（n-1） 两式做差bn-b（n-1）=-2bn bn=1/3*b（n-1） 所以bn=2*（1/3的n次方）
2 根据条件 很容易得an=3n-1 cn=2*(3n-1)*（1/3的n次方）
另dn=cn-3*c（n+1）=-6*（1/3的n次方）
Tn-3*Tn=c1+c2+c3+……+cn-3c1-3c2-c3-……-3c3=（c1-3c2）+（c2-3c3）+……+[c（n-1）-3cn]+(cn-3c1)=[dn的前n-1的和+(cn-3c1)]=-2Tn
dn的前n-1项和为-2*[1-1/3的（n-1次方）]/[1-1/3]=-3*[1-1/3的（n-1次方）]
-2Tn=-3*[1-1/3的（n-1次方）]+2*(3n-1)*（1/3的n次方）-3*4/3=-7+（9+6n-2）*（1/3的n次方）
解得Tn=7/2-（7+6n）*1/2*（1/3的n次方）