已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn． （1）当p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列； （2）求证：对任意实数p、q，数列{an+1-an}是等差数列．

题目

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=pn²+qn．
（1）当p，q满足什么条件时，数列{a_n}是等差数列；
（2）求证：对任意实数p、q，数列{a_n+1-a_n}是等差数列．

答案

（1）∵a_n=pn²+qn．
∴若数列{a_n}是等差数列；
则当n＞1时，a_n-a_n-1=pn²+qn-[p（n-1）²+q（n-1）]=2pn+q-p为常数，
∴必有p=0，
即当p=0，数列{a_n}是等差数列；
（2）∵a_n=pn²+qn．
∴当n＞1时，a_n-a_n-1=pn²+qn-[p（n-1）²+q（n-1）]=2pn+q-p，
即a_n+1-a_n=2p（n+1）+q-p，
∴（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2p为常数，
即对任意实数p、q，数列{a_n+1-a_n}是等差数列．