已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=-x²+2x

题目

已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=-x²+2x
(1)求f(x)的解析式并画出图像
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围

答案

解由f(x)是定义域为R的奇函数
知当x=0时,f（0）=0
当x＜0时
则-x＞0
由当x>0时,f(x)=-x²+2x
知f（-x)=-(-x)^2+2(-x）
即f(-x)=-x^2-2x.(*)
又由f（x）是奇函数
则(*)变为
-f(x)=-x^2-2x
即f(x)=x^2+2x
f(x)的解析式
                        -x²+2x       （x＞0）
 故f（x）=｛     0                  （x=0）
                        x^2+2x            （x＜0）


图像略
2 由图知
-1＜a-2≤1
即1＜a≤3