已知函数f(x)＝x+4/x(x＞0)． （1）判断函数f（x）的单调性； （2）用定义证明．

题目

已知函数f(x)＝x+

4

x

(x＞0)

答案

（1）f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
证明（2）设0＜x₁＜x₂≤2，则f(x1)−f(x2)＝(x1+

4

x1

)−(x2+

4

x2

)＝(x1−x2)(1−

4

x1x2

)
因0＜x₁＜x₂≤2，所有x₁-x₂＜0，1−

4

x1x2

＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（0，2]上单调递减．
设2＜x₁＜x₂，则f(x1)−f(x2)＝(x1+

4

x1

)−(x2+

4

x2

)＝(x1−x2)(1−

4

x1x2

)
因2＜x₁＜x₂，所有x₁-x₂＜0，1−

4

x1x2

＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．