已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,令bn=an+1-an. (1)证明:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{nan}的前n项和为Sn,求使Sn+n(n+1)2>120成立的正整数

已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,令bn=an+1-an. (1)证明:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{nan}的前n项和为Sn,求使Sn+n(n+1)2>120成立的正整数

题目
已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,令bn=an+1-an
(1)证明:数列{bn}是等比数列;
(2)设数列{nan}的前n项和为Sn,求使Sn+
n(n+1)
2
答案
(1)证明:由an+1=2an+1,得an=2an-1+1(n≥2),
两式相减得:(an+1-an)=2(an-an-1).
∵bn=an+1-an
∴bn=2bn-1
又b1=a2-a1=(2a1+1)-a1=a1+1=2.
∴数列{bn}是以2为首项,以2为公比等比数列;
(2)由(1)得bn2n,即an+1an2n
ana1+(a2a1)+(a3a2)+…+(a nan−1)=1+2+22+…2n−12n−1
nan=n•2n−n
Sn=(1•21−1)+(2•22−1)+…+(n•2n−n)=(1•21+2•22+…+n•2n)−
n(n+1)
2

令T=1•21+2•22+…+n•2n ①,
则2T=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1 ②,
①-②得:-T=-2+2n+1-n•2n+1
∴T=(n-1)•2n+1+2,
Sn=(n−1)•2n+1+2−
n(n+1)
2

由Sn+
n(n+1)
2
>120,得(n-1)•2n+1+2>120,
即(n-1)•2n+1>118,
∵当n∈N+时,(n-1)•2n+1单调递增,
∴正整数n的最小取值为5.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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