已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,令bn=an+1-an. (1)证明:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{nan}的前n项和为Sn,求使Sn+n(n+1)2>120成立的正整数
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已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,令bn=an+1-an. (1)证明:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{nan}的前n项和为Sn,求使Sn+n(n+1)2>120成立的正整数
题目
已知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1
=2a
n
+1,令b
n
=a
n+1
-a
n
.
(1)证明:数列{b
n
}是等比数列;
(2)设数列{na
n
}的前n项和为S
n
,求使S
n
+
n(n+1)
2
答案
(1)证明:由a
n+1
=2a
n
+1,得a
n
=2a
n-1
+1(n≥2),
两式相减得:(a
n+1
-a
n
)=2(a
n
-a
n-1
).
∵b
n
=a
n+1
-a
n
,
∴b
n
=2b
n-1
.
又b
1
=a
2
-a
1
=(2a
1
+1)-a
1
=a
1
+1=2.
∴数列{b
n
}是以2为首项,以2为公比等比数列;
(2)由(1)得
b
n
=
2
n
,即
a
n+1
−
a
n
=
2
n
,
∴
a
n
=
a
1
+(
a
2
−
a
1
)+(
a
3
−
a
2
)+…+(a
n
−
a
n−1
)=1+2+
2
2
+…
2
n−1
=
2
n
−1
,
∴
n
a
n
=n•
2
n
−n
,
∴
S
n
=(1•
2
1
−1)+(2•
2
2
−1)+…+(n•
2
n
−n)=(1•
2
1
+2•
2
2
+…+n•
2
n
)−
n(n+1)
2
,
令T=1•2
1
+2•2
2
+…+n•2
n
①,
则2T=1•2
2
+2•2
3
+…+(n-1)•2
n
+n•2
n+1
②,
①-②得:-T=-2+2
n+1
-n•2
n+1
,
∴T=(n-1)•2
n+1
+2,
∴
S
n
=(n−1)•
2
n+1
+2−
n(n+1)
2
,
由S
n
+
n(n+1)
2
>120,得(n-1)•2
n+1
+2>120,
即(n-1)•2
n+1
>118,
∵当n∈N
+
时,(n-1)•2
n+1
单调递增,
∴正整数n的最小取值为5.
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