已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1-an． （1）证明：数列{bn}是等比数列； （2）设数列{nan}的前n项和为Sn，求使Sn+n(n+1)2＞120成立的正整数

题目

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1-a_n．
（1）证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列{na_n}的前n项和为S_n，求使S_n+

n(n+1)

2

答案

（1）证明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n=2a_n-1+1（n≥2），
两式相减得：（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）．
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n=2b_n-1．
又b₁=a₂-a₁=（2a₁+1）-a₁=a₁+1=2．
∴数列{b_n}是以2为首项，以2为公比等比数列；
（2）由（1）得bn＝2n，即an+1−an＝2n，
∴an＝a1+(a2−a1)+(a3−a2)+…+(a n−an−1)＝1+2+22+…2n−1＝2n−1，
∴nan＝n•2n−n，
∴Sn＝(1•21−1)+(2•22−1)+…+(n•2n−n)＝(1•21+2•22+…+n•2n)−

n(n+1)

2

，
令T=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ ①，
则2T=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹ ②，
①-②得：-T=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，
∴T=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴Sn＝(n−1)•2n+1+2−

n(n+1)

2

，
由S_n+

n(n+1)

2

＞120，得（n-1）•2ⁿ⁺¹+2＞120，
即（n-1）•2ⁿ⁺¹＞118，
∵当n∈N₊时，（n-1）•2ⁿ⁺¹单调递增，
∴正整数n的最小取值为5．