如图,在平面直角坐标系xOy中,点F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,M,N在椭圆C上,若四边形OFMN是菱形,则椭圆C的离心率是_.

如图,在平面直角坐标系xOy中,点F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,M,N在椭圆C上,若四边形OFMN是菱形,则椭圆C的离心率是_.

题目
如图,在平面直角坐标系xOy中,点F为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点,M,N在椭圆C上,若四边形OFMN是菱形,则椭圆C的离心率是______.
答案
由题意知菱形的边长为c,由椭圆的对称性知N点的横坐标为
c
2
,由于ON=c,故
c2
4
+y2=c2,解得点N的纵坐标为
3
2
c
,则NF=
(
3
c
2
)
2
+(
c
2
+c)
2
=
3
c
又由椭圆的对称性知点N到右焦点的距离是c,由椭圆的定义知2a=c+
3
c,故得e=
2
1+
3
=
3
-1

故答案为:
3
-1
由题设中的条件及椭圆的对称性知菱形的边长为c,N点的横坐标为
c
2
,代入椭圆的方程可以求得其纵坐标,再利用ON=c建立方程整理即可得到椭圆的离心率

椭圆的简单性质.

本题考查椭圆的简单性质,解题的关键是根据椭圆的图形的对称性得出点N的坐标,求出点N到两个焦点的距离,由椭圆的定义建立方程整理即可求出椭圆的离心率.本题解题方法唯一,利用题设条及椭圆的对称性判断出点N的坐标比较抽象,做题时要注意数结合,探究规律.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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