已知函数f(x)=cos(2x+π)+3cos(2x−3π2)+a(a为常数,x∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若函数f(x)在[−π6,π6]上的最大值与最小值之和为3,求常数a

已知函数f(x)=cos(2x+π)+3cos(2x−3π2)+a(a为常数,x∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若函数f(x)在[−π6,π6]上的最大值与最小值之和为3,求常数a

题目
已知函数f(x)=cos(2x+π)+
3
cos(2x−
2
)+a
(a为常数,x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若函数f(x)在[−
π
6
π
6
]
上的最大值与最小值之和为3,求常数a的值.
答案
(Ⅰ)f(x)=cos(2x+π)+
3
cos(2x−
2
)+a

=−cos2x−
3
sin2x+a

=-2(
1
2
cos2x+
3
2
sin2x)+a

=−2sin(2x+
π
6
)+a

∴函数f(x)的最小正周期T=
2
=π.                           
(Ⅱ)当x∈[−
π
6
π
6
]
π
6
≤2x+
π
6
π
2

∴函数f(x)在[−
π
6
π
6
]
上的最大值是−2sin(−
π
6
)+a=1+a

最小值是−2sin
π
2
+a=−2+a

∴(1+a)+(-2+a)=3,得a=2.
(Ⅰ)利用诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、周期公式即可得出;
(Ⅱ)利用正弦函数的单调性即可得出.

两角和与差的正弦函数;诱导公式的作用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.

熟练掌握诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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