已知函数f(x)＝cos(2x+π)+3cos(2x−3π2)+a（a为常数，x∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若函数f（x）在[−π6，π6]上的最大值与最小值之和为3，求常数a

题目

已知函数f(x)＝cos(2x+π)+

3

cos(2x−

3π

2

)+a（a为常数，x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[−

π

6

，

π

6

]上的最大值与最小值之和为3，求常数a的值．

答案

（Ⅰ）f(x)＝cos(2x+π)+

3

cos(2x−

3π

2

)+a
=−cos2x−

3

sin2x+a
=-2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)+a
=−2sin(2x+

π

6

)+a，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．                           
（Ⅱ）当x∈[−

π

6

，

π

6

]，−

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，
∴函数f（x）在[−

π

6

，

π

6

]上的最大值是−2sin(−

π

6

)+a＝1+a，
最小值是−2sin

π

2

+a＝−2+a，
∴（1+a）+（-2+a）=3，得a=2．

（Ⅰ）利用诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、周期公式即可得出；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可得出．

本题考点：两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：熟练掌握诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键．