当n>m>=4时,求证：（mn^n)^m>(nm^m)^n

题目

当n>m>=4时,求证：（mn^n)^m>(nm^m)^n
这个是高中的题，是出现在最后一题中的。

答案

这个题目老师前2天刚讲过
便宜你了
我直接奉上标准解答!
解析：
(1)
f'=a+lnx+1
a+2=3
a=1
(2)f(x)=x(1nx+1)
构造一个函数g(x)=f(x)/(x-1)(x>1)
则g'(x)=(x-1nx-2)/(x-1)²
令h(x)=x-1nx-2(x>1),则h'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴h(x)在（1,+∞）上单调递增
又h(3)=1-1n30
∴h(x)在区间（3,4）上有一个零点,记为x₀,则x₀=1nx₀+2
当10
∴g(x)在（1,x₀）上单调递减,在（x₀,+∞)上单调递增
∴g(x)有最小值g(x₀)=f(x₀)/(x₀-1)=x₀(1nx₀+1)/(x₀-1)=x₀
∴km>1时,n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)成立
构造一个函数f(x)=x1nx/(x-1)(x>1)
则f'(x)=(x-1nx-1)/(x-1)²
令g(x)=x-1nx-1(x>1),则g'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴g(x)在(1,+∞)上单调递增
又g(1)=0,∴g(x)>0 ∴f'(x)>0
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增
∴当n>m>1时,n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)