怎么证明(m+n)^2/2+(m+n)/4>mn^(1/2)+nm^(1/2),已知m>0,n>0

题目

怎么证明(m+n)^2/2+(m+n)/4>mn^(1/2)+nm^(1/2),已知m>0,n>0
以上大于号都改成大于等于.（打不出）
不是所有次方都面都带括号.(m+n)^2/2意思是二分之一倍的(m+n)的2次方
不是所有次方“后”面都带括号。（刚才打错了）

答案

利用均值不等式
m+n>=2(mn)^(1/2)
m+1/4>=2(m*1/4)^(1/2)=m^(1/2).同理n+1/4>=n^(1/2)
所以m+n+1/2>=m^(1/2)+n^(1/2).此式与m+n>=2(mn)^(1/2)相乘即得欲证式