已知定义在实数集R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)

题目

已知定义在实数集R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)
(1)如果方程f(x)=0有三个根,并且已知的x=0是方程的一个根,求方程的另外两个根.
（2）如果函数y=f(x)满足f(-x)=f(x),并且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求出函数在[-4,0]上的解析式

答案

∵f(2+x)=f(2-x)
∴函数y=f(x)的图像关于x=2对称
(1)函数y=f(x)定义在实数集R上
如果方程f(x)=0有三个根,x=0是方程的一个根
∴与x=0关于x=2对称的x=4也是方程的一个根
第三个根只有x=2（若换成其他根因对称性还会有第四个）
∴方程的另外两个根是x=2,x=4
2
如果函数y=f(x)满足f(-x)=f(x),又f(2+x)=f(2-x)
∴f(x+4)=f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)=f(x)
∴f(x)是周期为4的周期函数
∵当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1
∴当x∈[2,4]时,4-x∈[0,2]
∴f(x)=f(4-x)=2(4-x)-1=-2x+7
∴当x∈[-2,0]时,x+4∈[2,4]
f(x)=f(x+4)=-2(x+4)+7=-2x-1
当x∈[-4,-2)时,x+4∈[0,2)
f(x)=f(x+4)=2(x+4)-1= 2x+7
∴函数在[-4,0]上的解析式为分段函数
f(x) ={ -2x-1,x∈[-2,0]
{2x+7,x∈[-4,-2)
或写成f(x)=3-2|x+2|,x∈ [-4,0]