设数列{an}的前项和为Sn,且Sn=2−1/2n−1,{bn}为等差数列,且a1=b1,a2(b2-b1)=a1. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}通项公式; (Ⅱ)设cn=bnan,求数列{cn}的
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设数列{an}的前项和为Sn,且Sn=2−1/2n−1,{bn}为等差数列,且a1=b1,a2(b2-b1)=a1. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}通项公式; (Ⅱ)设cn=bnan,求数列{cn}的
题目
设数列{a
n
}的前项和为S
n
,且S
n
=
2−
1
2
答案
(Ⅰ)当n=1时,a
1
=S
1
=1,
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=(
2−
1
2
n−1
)-(
2−
1
2
n−2
)=
1
2
n−1
,
经验证当n=1时,此式也成立,所以
a
n
=
1
2
n−1
,从而b
1
=a
1
=1,
b
2
−
b
1
=
a
1
a
2
=2
,
又因为{b
n
}为等差数列,所以公差d=2,∴b
n
=1+(n-1)•2=2n-1,
故数列{a
n
}和{b
n
}通项公式分别为:
a
n
=
1
2
n−1
,b
n
=2n-1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
c
n
=
2n−1
1
2
n−1
=(2n−1)•
2
n−1
,
所以
T
n
=1×
2
0
+3×
2
1
+5×
2
2
+…
+(2n-1)•2
n-1
①
①×2得
2T
n
=1×
2
1
+3×
2
2
+5×
2
3
+…
+(2n-3)•2
n-1
+(2n-1)•2
n
②
①-②得:
−
T
n
=1+2(2+
2
2
+…+
2
n−1
)
-(2n-1)•2
n
=
1+2
2(1−
2
n−1
)
1−2
−(2n−1)•
2
n
=1+2
n+1
-4-(2n-1)•2
n
=-3-(2n-3)•2
n
.
∴数列{c
n
}的前n项和
T
n
=3+(2n−3)•
2
n
.
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