求函数y=tan²x+2atanx+5在x∈[π/4,π/2）时的值域（其中a为常数）

题目

求函数y=tan²x+2atanx+5在x∈[π/4,π/2）时的值域（其中a为常数）

答案

x∈[π/4,π/2）时,tanx是增函数,tanx ∈[1,+∞)
y=(tanx)^2+2atanx+5
=(tanx+a)^2+5-a^2
这是关于tanx的二次函数,在tanx>-a时,也是增函数,所以本题实际上就是求 y的最小值.
我们考虑y=(tanx+a)^2+5-a^2
a-1时,tanx+a>0,显然tanx=1,y取得最小值,且最小值是 2a+6
综上所述：
a-1时,y的值域是 [2a+6,+∞)