设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数 (1)求b,c的值; (2)求g(x)的单调区间.

设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数 (1)求b,c的值; (2)求g(x)的单调区间.

题目
设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间.
答案
(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,
∴f'(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c
是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,
由奇函数定义得b=3;
(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6,
当g'(x)>0时,x<-
2
或x>
2

当g'(x)<0时,-
2
<x<
2

由此可知,(-∞,-
2
)和(
2
,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(-
2
2
)是函数g(x)的单调递减区间;
(1)根据g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数,且f'(x)=3x2+2bx+c能够求出b与c的值.
(2)对g(x)进行求导,g'(x)>0时的x的取值区间为单调递增区间,g'(x)<0时的x的取值区间为单调递减区间.

利用导数研究函数的单调性.

本题主要考查对导数的理解.导数大于0时可求原函数的单调递增区间,导数小于0时可求原函数的单调递减区间

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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