若a.b.c为实数,X=a^2-2b+π/3,Y=b^2-2c+π/6,Z=c^2-2a+π/2,证明:X.Y.Z中至少有一个大于0

题目

若a.b.c为实数,X=a^2-2b+π/3,Y=b^2-2c+π/6,Z=c^2-2a+π/2,证明:X.Y.Z中至少有一个大于0

答案

A+B+C=a²-2a+b²+2b+c²-2c+π
=(a²-2a+1)+(b²+2b+1)+(c²-2c+1)+π-3
=(a-1)²+(b+1)²+(c-1)²+π-3
因为平方大于等于0
所以(a-1)²+(b+1)²+(c-1)²>=0
而π>3,所以π-3>0
所以A+B+C>0
若ABC都不大于0,则不可能A+B+C>0
所以至少一个大于0