已知a>0,求证根号下a^2+a^2分之一-根号下2大于等于a+a分之一-2

题目

已知a>0,求证根号下a^2+a^2分之一-根号下2大于等于a+a分之一-2

答案

(a+1/a)-√(a²+1/a²)
上下乘(a+1/a)+√(a²+1/a²)
[(a+1/a)-√(a²+1/a²)][(a+1/a)+√(a²+1/a²)]/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]
分子平方差
=(a²+2+1/a²-a²-1/a²)]/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]
=2/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]
因为a+1/a≥2√(a*1/a)=2
√(a²+1/a²)≥√2
所以(a+1/a)+√(a²+1/a²)≥2+√2
1/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]≤1/(2+√2)
2/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]≤2-√2
即
(a+1/a)-√(a²+1/a²)≤2-√2
移项就可以了