已知实数a,b分别满足a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,则a+b的值为_.
题目
已知实数a,b分别满足a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,则a+b的值为______.
答案
由于已知的两个等式结构相似,因此可考虑构造函数.
将已知等式变形为(a-1)3+2(a-1)=-2,(b-1)3+2(b-1)=2,
构造函数f(x)=x3+2x,
∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数
∵f′(x)=3x2+2>0
∴f(x)单调递增
∴f(x)是一个单调递增的奇函数,
因为f(a-1)=-2,f(b-1)=2
所以f(a-1)=-f(b-1)=f(1-b),
从而有a-1=1-b,a+b=2
故答案为2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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