已知a,b为实数,一元二次方程ax^2+bx+1=0与bx^2+ax+1=0分别有两相异的实数根m,x1与m,x2,其中x2比x1大1,求方程x^2+ax+b=0的实数根

题目

已知a,b为实数,一元二次方程ax^2+bx+1=0与bx^2+ax+1=0分别有两相异的实数根m,x1与m,x2,其中x2比x1大1,求方程x^2+ax+b=0的实数根

答案

两方程有公共根x=m,显然m不可能为0
am^2+bm+1=0
bm^2+am+1=0
两式相减得;(a-b)m^2+(b-a)m=0
得：(a-b)m(m-1)=0
m不为0,所以a=b或m=1
a=b的话两方程一样,根也相同,不符题意.
因此只能有m=1
故有a+b+1=0 1)
ax^2+bx+1=0的根为1,x1,两根积=x1=1/a
bx^2+ax+1=0的根为1,x2,两根积=x2=1/b
由题意,1/b=1/a+1,即a=b+ab 2)
由1),2),解得：
a=(-3+√5)/2,b=(1-√5)/2
因1+a+b=0,知x^2+ax+b=0的一个根显然也为1,两根积=b,知另一根为b=(1-√5)/2