已知实数x y满足x²+y²+2x-4y+1=0 求下列最大值和最小值,(1)y/x-4 (2)2x-y

题目

已知实数x y满足x²+y²+2x-4y+1=0 求下列最大值和最小值,(1)y/x-4 (2)2x-y

答案

x²+y²+2x-4y+1＝0
→(x+1)²+(y-2)²＝2².
(1)设y/(x-4)＝t→tx-y-4t＝0.
此直线系与圆相交则与圆心(-1,2)的距离不大于半径2,
∴|t·(-1)-2-4t|/√(t²+1)≤2
→21t²+20t≤0
→-20/21≤t≤0.
故所求最大值为0,所求最小值为-20/21.
(2)设2x-y＝u→2x-y-u＝0.
此直线系与圆心(-1,2)距离不大于半径2,
∴|2·(-1)-2-u|/√(2²+1²)≤2
→|u+4|≤2√5
→-4-2√5≤u≤-4+2√5.
故所求最小值为-4-2√5,最大值为-4+2√5.