已知椭圆C:X^2/4+Y^2/3=1和直线L:Y=4X+M,试确定实数M的取值范围,使椭圆上恒有不同的两点关于直线L对称

题目

已知椭圆C:X^2/4+Y^2/3=1和直线L:Y=4X+M,试确定实数M的取值范围,使椭圆上恒有不同的两点关于直线L对称

答案

设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2) 关于直线y=4x+m对称,x0dAB中点为M(x0,y0).则x0d3x1^2+4y1^2=12x0d3x2^2+4y2^2=12x0d相减得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0x0d由于M是AB的中点,所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0x0d既6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0x0d则k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4.x0dy0=3x0.代入直线方程y=4x+mx0d得x0=-m,y0=-3mx0d则3m^2+4(-3m)^2<12