已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f[f(52)]的值是( ) A.0 B.12 C.1 D.52
题目
已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f[f(
答案
若x≠0,xf(x+1)=(1+x)f(x),则有f(x+1)=
f(x),取x=-
,
则有:f(
)=f(-
+1)=
f(-
)=-f(-
)=-f(
)
∵f(x)是偶函数,则f(-
)=f(
)
由此得f(
)=0.
于是,f(
)=f(
+1)=
f(
)=
f(
)=
f(
+1)=
[
]f(
)=5f(
)=0
故选:A.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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