设a>0且a不等于1,求证方程a^x+a^-x=2a的根不在区间[-1,1]内

题目

设a>0且a不等于1,求证方程a^x+a^-x=2a的根不在区间[-1,1]内

答案

（反证,分类讨论）
不妨假设a>1.
1）若x=0,则2=2a,a=1,与题意不符,所以x不等于0.
2）若x在(0,1],则a^x在(1,a]；a^-x在[1/a,1)
于是a^x+a^-x在(1+（1/a),1+a)的开区间内.
因为a>1,随意a+a>1+a,即2a>1+a,方程等式不成立,所以x不可能在(0,1]区间.
3）若x在[-1,0),同理.
若0