设直线kx+(k+1)y-1=根号2与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk,求S1+S2+.+S2010

题目

设直线kx+(k+1)y-1=根号2与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk,求S1+S2+.+S2010

答案

由题,将kx+(k+1)y-1=√2整理可得：
y＝（√2－kx＋1）／k＋1,
即 y＝－k／（k＋1）x ＋（√2＋1）／（k＋1）
∴ y＝－k／（k＋1）x ＋（√2＋1）／（k＋1）与两坐标轴的交点为：
[0 ,（√2＋1）／（k＋1）]
和[（√2＋1）／k, 0]
∵ k取1,2,…,2010
∴ S＝（1／2）×（√2＋1）／（k＋1）×（√2＋1）／k
整理可得
S＝[（√2＋1）²／2]×[1／ k（k＋1）]
∴ S1+S2+.+S2010 ＝[（√2＋1）²／2]×
（1－1／2＋1／2－1／3＋1／3－1／4＋…－1／2010＋1／2010－1／2011)
------------------------------------------这里有个裂项,你可以问下老师
∴ S1+S2+.+S2010 ＝[（√2＋1）²／2]×（1－1／2011）＝（3015＋2010√2）／2011
看我这么辛苦,就给点分吧,方法是对的,答案你可以检验一下