判断函数f（x）=lg（x2+1-x）的奇偶性、单调性．

题目

判断函数f（x）=lg（

x2+1

-x）的奇偶性、单调性．

答案

因为

x2+1

＞x，所以f（x）的定义域为R，
因为f（-x）+f（x）=lg(

x2+1

+x)+lg(

x2+1

-x)=lg(

x2+1

+x) (

x2+1

-x)=0
所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．
令y=

x2+1

-x，则y′=

2x

2 x2+1

-1＜0，所以y=

x2+1

-x是减函数，
由复合函数的单调性知f（x）为减函数．

首先求出函数的定义域，再由奇偶性的定义判断f（-x）和f（x）的关系，可利用奇函数的变形公式，求f（-x）+f（x）=0．然后先由导数判断y=

x2+1

−x的单调性，再由复合函数的单调性确定f（x）的单调性即可．

本题考点：对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的判断．

考点点评：本题考查复合函数的单调性和奇偶性的判断和证明，注意奇函数的变形公式f（-x）+f（x）=0