应用函数单调性定义证明:函数f(x)=x+4/x在区间(0,2)上是减函数.

应用函数单调性定义证明:函数f(x)=x+4/x在区间(0,2)上是减函数.

题目
应用函数单调性定义证明:函数f(x)=x+
4
x
答案
证明:任取x1,x2∈(0,2),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)
=
(x2x1)(4−x1x2)
x1x2

因为0<x1<x2<2,所以x1-x2<0,x1x2<4,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)=x+
4
x
在(0,2)上为减函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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