2[Cn0＋2Cn1＋3Cn2＋…＋(n+1)Cnn] ＝(n＋2)(Cn0＋Cn1＋…Cnn)怎么来的

题目

2[Cn0＋2Cn1＋3Cn2＋…＋(n+1)Cnn] ＝(n＋2)(Cn0＋Cn1＋…Cnn)怎么来的
Cn0+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)Cnn=2n+n2n-1
已知Cni＝Cn(n－i)则原等式左边＝Cnn＋2Cn(n-1)＋3Cn(n-2)＋…＋(n+1)Cn0两式相加得2[Cn0＋2Cn1＋3Cn2＋…＋(n+1)Cnn]＝(n＋2)(Cn0＋Cn1＋…Cnn)＝(n＋2)2^n即Cn0＋2Cn1＋3Cn2＋…＋(n+1)Cnn＝(n＋2)2^(n－1)＝2^n＋n2^(n－1)

答案

Cn0+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)Cnn.(1)
已知Cni＝Cn(n－i) （组合数的性质,选法数=剩法数）
即C（n,0)=C(n,n),C(n,1)=C(n,n-1).
则
Cnn＋2Cn(n-1)＋3Cn(n-2)＋…＋(n+1)Cn0
即（n+1)Cn0+nCn1+(n-1)Cn2+…+Cnn .(2_
(1)+(2)得
2[Cn0＋2Cn1＋3Cn2＋…＋(n+1)Cnn]
＝(n＋2)(Cn0＋Cn1＋…Cnn)
＝(n＋2)2^n
即
Cn0＋2Cn1＋3Cn2＋…＋(n+1)Cnn
＝(n＋2)2^(n－1)
＝2^n＋n2^(n－1)