函数f（x）=-sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤17/4对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．

题目

函数f（x）=-sin²x+sinx+a，若1≤f（x）≤

17

4

对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．

答案

f（x）=-sin²x+sinx+a
=-（sinx-

1

2

）²+a+

1

4

．
由-1≤sinx≤1可以的出函数f（x）的值域为[a-2，a+

1

4

]，
由1≤f（x）≤

17

4

得[a-2，a+

1

4

]⊆[1，

17

4

]．
∴

a−2≥1 a+ 1 4 ≤ 17 4

⇒3≤a≤4，
故a的范围是3≤a≤4．

本题是整体的思想，把sinx看成一个整体，求出函数f（x）的值域为[a-2，a+

1

4

]，再根据题意得，[a-2，a+

3

4

]⊆[1，

17

4

]求出a的范围．

本题考点：函数恒成立问题；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：本题目考查的是函数的值域问题，进而转化为恒成立问题解决．