求证 1/a^2+1/b^2+1/c^2≥1/ab+1/ac+1/bc 好像是关于基本不等式的题目 、

题目

求证 1/a^2+1/b^2+1/c^2≥1/ab+1/ac+1/bc 好像是关于基本不等式的题目 、

答案

要证1/a^2+1/b^2+1/c^2>=1/ab+1/ac+1/bc
即证bc/a+ac/b+ab/c>=a+b+c
bc/a+ac/b+ab/c
=1/2*[a(c/b+b/c)+b(a/c+c/a)+c(a/b+b/a)]
因为a/b+b/a>=2,c/b+b/c>=2,a/c+c/a>=2
所以a(c/b+b/c)+b(a/c+c/a)+c(a/b+b/a)>=2(a+b+c)
1/2*[a(c/b+b/c)+b(a/c+c/a)+c(a/b+b/a)]>=a+b+c