知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225． （Ⅰ）求数列{an}的通项an； （Ⅱ）设bn=2an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

题目

知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=2an+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
由题意，得

a1+2d＝5 15a1+ 15×14 2 d＝225

，
解得

a1＝1 d＝2

，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）bn＝2an+2n＝

1

2

•4n+2n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（4+4²+…+4ⁿ）+2（1+2+…+n）
=

4n+1−4

6

+n2+n=

2

3

•4n+n2+n−

2

3

．

（Ⅰ）设出等差数列的首项和等差，根据等差数列的通项公式及前n项和的公式把已知条件a₃=5，S₁₅=225化简，得到关于首项和公差的两个关系式，联立两个关系式即可求出首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把求出的通项公式a_n代入b_n=2an+2n中，得到b_n的通项公式，然后列举出数列的各项，分别利用等差数列及等比数列的前n项和的公式化简后得到数列{b_n}的前n项和T_n的通项公式．

本题考点：等差数列的前n项和；数列的求和．

考点点评：此题考查学生灵活等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题．