数学导数切线方程

题目

数学导数切线方程
已知曲线y=1/3x³＋4/3.求曲线过点（2,4）的切线方程.
注意是过点（2,4），不是在点（2,4）处的方程

答案

设切点坐标为（a,b),则 b=1/3a³＋4/3 （1）
由 y' = x^2 得切线斜率为 k = a^2 ,切线方程为 y - b =a^2 (x - a),
因切线过（2,4),就有 4 - b =a^2 (2 - a),即 a^3 - 2a^2 + 4 = b (2)
联立（1）（2）消去b 并化简整理得 a^3 -3 x^2+4 = 0,(a+1) (a-2)^2 =0（这步只要注意到该方程必有一根a=2,就容易分解因式了）,所以a=2,或 a=-1.
所以切点为(-1,1),或（2,4）
所以,所求切线方程为 y - 1= x+1,或y-4 = 4(x - 2),即 x - y +2 =0 或4x -y -4 = 0.
备注：过点（2,4）的切线也包括在点（2,4）处的切线.