设不等式X2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M包含于[1

题目

设不等式X2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M包含于[1

答案

M 〔1,4〕有两种情况：其一是M=空集 ,此时Δ＜0；其二是M≠空集,此时Δ=0或Δ＞0,分三种情况计算a的取值范围
设f(x)=x2 －2ax+a+2,有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
当Δ＜0时,－1＜a＜2,M=空集包含于 〔1,4〕；
当Δ=0时,a=－1或2；
当a=－1时M={－1}不包含于〔1,4〕；当a=2时,m={2} 包含于〔1,4〕.
当Δ＞0时,a＜－1或a＞2.
设方程f(x)=0的两根x1,x2,且x1＜x2,
那么M=〔x1,x2〕,M 包含于〔1,4〕得到 1≤x1＜x2≤4 ,
此时f(1)>0且f(4)>0,10,18-7a>0,a>0,a2 ,解得2＜a＜ 18/7,
∴M 〔1,4〕时,a的取值范围是(－1, 18/7).