设函数f(x)=1/3x3+1/2(m-1)x2+x+2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,2)内有2个极值点,求实数m的取值范围.
题目
设函数
f(x)=x3+(m-1)x2+x+2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,2)内有2个极值点,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)f'(x)=x
2+(m+1)x+1,…(2分)
①当△≤0,即(m-1)
2-4≤0,-1≤m≤3时,
函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;…(4分)
②当△>0,即m<-1或m>3时,
令f'(x)=0,解得
x=,…(6分)
所以,函数f(x)在
(-∞,)内单调递增;
在
(,)内单调递减;
在
(,+∞)内单调递增.…(8分)
(Ⅱ)若f'(x)=0在区间(0,2)内有两个不等实根,
得
,解得
-<m<-1.…(13分)
(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论m的取值,讨论函数的单调性.
(Ⅱ)函数f(x)在区间(0,2)内有2个极值点,对应f'(x)=0在区间(0,2)内有两个不等实根,然后利用根的分布去求实数m的取值范围.
利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值,对应参数问题,必须要对参数进行讨论.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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